宇宙由物理方程所描述，而这些方程的对称性可以成为通往现实全新方面的门户，最令人满意的例子就是粒子物理学的标准模型。为了理解作为标准模型的理论旋风，我们需要引入规范理论的概念。简单来说，规范理论就是一种具有数学参数或自由度的理论，可以在不影响理论预测的情况下进行更改。

举个例子，一个球在恒定的重力加速度下从山上滚下来。球在山脚下的速度取决于它的高度变化，而不取决于怎样定义高度零点。对于球的运动方程来说，高度零点是无关紧要的，这就是我们所说的规范对称性，我们说运动方程对该参数是不变的。

这是一个非常基本的例子，但事实证明，这些规范对称性是我们描述宇宙的大多数物理理论的一个重要特征。牛顿的运动定律和引力定律、麦克斯韦的电磁方程组、爱因斯坦的广义相对论还有标准模型都是这样，具有这些规范对称性的理论称为规范理论。今天我们将谈谈标准模型中最简单的对称性。

全局

标准模型基于量子场论，但我们将使用薛定谔方程。这是量子力学中最基本的运动方程，它描述了波函数的演变，而波函数包含了有关特定物理系统的所有信息的数学对象。我们永远看不到粒子的潜在波函数，我们能做的最好的事情就是测量物体可观察的物理量，比如位置或动量。波函数可以表示不同的可观察量，它决定了这些可观察量的可能测量结果的分布。在这里，我们主要讨论的是位置。

波函数的大小的平方告诉我们粒子位置的概率分布，我们观察粒子时观察到的位置是从该分布中随机挑选的。这个波函数平方的步骤称为玻恩法则，这个步骤引入了一种具有深远影响的简单对称性。让我们看看当我们对波函数求平方时会发生什么？

波函数是量子可能性的振荡，它在空间和时间中移动。它不是简单的波，在数学意义上，它实际上是一种复数波。它有由实数和虚数组成的两个部分，这两个部分彼此同步振荡，但相位偏移了一个恒定的量。当我们应用玻恩法则时，我们在做的是将这两个部分的幅度平方加在一起，得到的值不依赖于相位。

我们可以观察到的是幅度平方，它决定了粒子的位置。相位本身基本上是不可观察的。只要对实部和虚部进行相同的平移，我们就可以改变任意数量的相位，并且不会改变粒子的最终位置。事实上，只要我们在整个波函数做同样的转变，所有的可观测量都不会改变。我们将这种转变称为全局相移，量子力学方程具有我们所说的全局相位不变性，全局相位是系统的规范对称性。

局部

让我们再进一步看看这种对称性可以走多远。这一次，我们将在不同的位置改变不同的相位，同时在每个位置仍然保持实部和虚部的变化相同。这种位置相关的相移称为局部相移。如果我们允许这种局部相移，我们可以用不同的方式改变波函数的每个点，这真的会把波函数给弄得一团糟。

根据薛定谔方程，弄乱局部相位确实会破坏我们对粒子动量的预测。动量与波函数的平均陡度有关，通过局部相移改变波函数的形状，实际上打破了动量守恒。因此，局部相位不是薛定谔方程的基本规范对称。

也许我们可以改变薛定谔方程，来找到一个对局部相移真正不变的版本。为此，我们需要改变薛定谔方程中给出粒子动量的部分——动量算子。我们可以在动量算子中添加一个数学术语，专门设计用于消除我们对波函数相位造成的任何混乱，这个术语就是矢量势。这个数学实体与存在电磁场时的矢量势类型完全一样，因此，我们发现粒子具有局部相位不变性的唯一方法是引入一个遍布空间的新基本场。事实证明，这个场已经存在，它就是电磁场。

我们刚刚通过坚持无权期望存在的规范对称性重新发现了电磁学。实际上，局部相位不变性只是标准模型的更大规范对称中最简单的一个，这些对称性被模糊地命名为U(1)、SU(2)和SU(3)，它们分别预测了产生电磁力、弱核力和强核力的场。由这些规范对称性产生的场称为规范场，它们都有相关的振荡、相关的粒子：它们是规范玻色子，用于电磁学的光子、弱相互作用的W和Z玻色子、强相互作用的胶子。